なるほど！ そうだったのか、数学。
数学を納得して理解するには、小学校から高校まで学ぶ算数・数学のうち、とくに押さえておくべき「重要キーワード」を一つひとつ理解して、体系的・構造的に学ぶことが大切です。
いまや、数学は、受験対策などの交換価値や、便利な道具として使用価値の有無ばかりが強調されるようになってしまいましたが、本来は、生活経験や体験によって得られた知識をベースにした素晴らしいな思想体系です。そして、その思想は、小学校の算数という初歩の段階から、しっかり流れ続けているのです。
学生のころに新鮮な気持ちで学んだ算数や数学を、いまふたたび深めることこそ、数学の本質に迫る「近道」といえるでしょう。
好評の『なっとくする数学記号』（ブルーバックス）の著者にして、数学教育を知り尽くした専門家による「学びなおし」の決定版『学びなおし! 数学 代数・解析編』。そこで取り上げた数学を理解する29のキーワードから、さらに厳選したトピックをご紹介していきます。
＊本記事は、『学びなおし！ 数学 代数・解析編 なっとくする数学キーワード29』（ブルーバックス）を再構成・再編集したものです。
2次元の数「複素数」
前回、数直線は1次元なので実数は1次元の数ということになりますが、平面は2次元ですので、複素数は2次元の数ということを述べました。
ここで簡単に複素数について確認しておきましょう。
√−1を虚数単位と呼び、√−1= iと表して(i2=−1) 、√−3=√3i というように表記しました。これを純虚数といいます。
一般には、aiで表記されるものが純虚数です（aは実数）。これは単なる記号ですが、ai×ai=a×a×i×i=a²×i²=a²×(−1)=−a² という具合に、あたかも普通の数であるかのように計算することができます。
そしてさらに、実数と純虚数との結合を記号「+」を用いて、2+√3iのように表記したものを複素数と呼ぶことにしたのです。
2次元の数として実質化する数学マジック
さて、いよいよ、複素数を平面上で考えることで、2次元の数として実質化する数学マジックについて説明しましょう。
いま、2本の数直線を1点Oで垂直に交差させた普通の座標平面を考えます。このとき、平面上の点は (a, b) という実数の対として捉えることができます。
ここで、(a, b) ⇔ a+biという対応を考えます。つまり、平面上の点 (a, b) を複素数a +biのことだと考えるわけです。この同一視によって、複素数を平面上の点と考えることにするのです。
(a, 0) ⇔ a+0i=a, (0, b) ⇔ bi
(a, 0) は横軸（X軸とします）上の点を示していますので、a(=a+0i) もX軸上の点だとみなせます（これは数直線ですので実数の全体とみなせます）。これは、実数が複素数の一部であるということを表現しているのです。
同様に、(0, b) は縦軸（Y軸とします）上の点を示していますので、純虚数biはY軸上の点だといえます。
こうして、座標を導入した平面をX軸は従来の数直線を表すものとして考え、縦軸であるY軸は数直線の数yにiをつけたyiと考えることにするのです。Y軸は純虚数の軸なのです。ただ、このY軸上の割り振りはまったくの形式的なことです。
純虚数には大小関係はありませんので、下図のようにしたからといってi<2iという意味ではありません。これは単なる番地のようなものだと考えてください。
x軸上とy軸上に座標を取る。ただし純虚数には大小関係はなく、座標図は単なる番地のようなもの
このような仮想の平面を考えました。通常の座標平面で(a, b) になる点は、この仮想平面の番地は (a, bi) となるわけです。
"(a, b) ⇔ a + bi "とみなしているので、この平面上ではa+biと表記することにします。
このようにして考えた座標平面のことを複素数平面、または論じたガウスにちなんでガウス平面ともいいます。
これをなぜ (a, bi) という扱いをせずにa+biとするかというと、その方が簡潔であること、そして一つの数として捉えようという意図からです。
また、複素数は数学以外の分野でも頻繁に使われますが、それは次のようなベクトルとしての扱いができるという長所もあるからです。
