なるほど！ そうだったのか、数学。
数学を納得して理解するには、小学校から高校まで学ぶ算数・数学のうち、とくに押さえておくべき「重要キーワード」を一つひとつ理解して、体系的・構造的に学ぶことが大切です。
いまや、数学は、受験対策などの交換価値や、便利な道具として使用価値の有無ばかりが強調されるようになってしまいましたが、本来は、生活経験や体験によって得られた知識をベースにした素晴らしいな思想体系です。そして、その思想は、小学校の算数という初歩の段階から、しっかり流れ続けているのです。
学生のころに新鮮な気持ちで学んだ算数や数学を、いまふたたび深めることこそ、数学の本質に迫る「近道」といえるでしょう。
好評の『なっとくする数学記号』（ブルーバックス）の著者にして、数学教育を知り尽くした専門家による「学びなおし」の決定版『学びなおし! 数学 代数・解析編』。そこで取り上げた数学を理解する29のキーワードから、さらに厳選したトピックをご紹介していきます。
＊本記事は、『学びなおし！ 数学 代数・解析編 なっとくする数学キーワード29』（ブルーバックス）を再構成・再編集したものです。
じつは、身のまわりにあふれている「無理数」
中学校までに学習する数は有理数と無理数です。これらは実数と呼ばれていて、現実の世界で物事を処理したり、考えたりするときに必要になります。量の測定（基準1を定めて、数値化すること）ではいつまでも測定し切れない無理数のような数が生まれます。そして、そのような数は測定という行為以外からでも生まれてきます。
一つの例をあげましょう。
市販のA3、A4、A5などの用紙（A0～A10）は、A3を半分にしたものがA4で、A4を半分にしたものがA5という具合に作られています。大きいサイズの用紙を半分にすれば、小さいサイズの用紙ができます。
しかも、半分にしても隣り合う辺の比は変わらないようになっています。つまり、用紙の形は変わりません。正方形は隣り合う辺の比は1対1ですが、半分になると1対2になってしまいます。このように一般には形が変わります。A判の用紙の作り方は特別なものなのです（B判も同じ原理です）。
ではその隣り合う辺の比を求めてみましょう。
隣り合う辺の比は変わらないので
x:1 = 1: x/2
です。
こうして
x²/2=1
→ x²=2
が得られます。これは無理数ですので、x=±√2 としています。この場合は、x>0なのでx=√2となります。短辺に対して長辺は無理数の長さになります。
もっとも、実際の用紙を作るには無理数のままというわけにはいかないので、A4用紙は210mm×297mm、B4用紙は257mm×364mmとなっています。このとき、297÷210=1.4142857…, 364÷257=1.4163424…です。横と縦の比率は、ほぼ√2=1.4142135…です。
註（たのめーる「たのくんのオフィス用品豆知識」より）：A判用紙は、19世紀のオズワルドというドイツの物理学者の発明。A判は面積が1m²となる長方形（A0判）が原型、B判は美濃判という江戸時代の徳川御三家だけが使用できた日本特有のサイズで、B0判は1.5m²となる長方形。
A判も、B5判も、横と縦の比率は、ほぼ√2=1.4142135…となる photo by gettyimages
少し欲張ることで違った世界が開けてくる
円周率πもそうです。図形に関しては無理数が頻繁に出てきます。
ところが、それでも足りなくなるのです。いえ、足りないのではなくて、少し欲張ることで違った世界が開けてくるということです。
そのようなものの一つが複素数という数です。無理数が図形から出てきた数とすれば、複素数は方程式から生まれた数といえます。
無理数の発見はピタゴラスにまで遡り、最初は線分の長さとして扱われました。複素数が最初に論じられたのは16世紀のイタリアですが、形式化の最たるものと思われるほどに現実味に欠けたものでした。やがて歴史の経過とともに実質化されていきました。
