La paradoja de Curry

 Hilo, ligeramente editado, de hace unas semanas.

1/7

Hablemos de la paradoja de Curry y las formalizaciones ingenuas.

Consideremos la frase:

«Si no me equivoco, 2+2=5».

Razonemos un poco:

La frase es cierta, por lo tanto no me equivoco, por lo tanto 2+2=5.

¿Dónde está el fallo?

2/7

Eso, ¿dónde está el fallo?

En que hay dos niveles de referencia al error.

1: La frase significa:

«Si no me equivoco al decir que 2+2=5, entonces 2+2=5»

Esto es cierto y es equivalente a la frase original. No implica que 2+2=5.

3/7

2: Por ambigüedad, a la frase se le hace decir:

«Como es cierto que "Si no me equivoco al decir que 2+2=5, entonces 2+2=5", entonces 2+2=5».

Esto es falso y es lo que se quiere hacer pasar por argumento para expresar la paradoja. Es el razonamiento del primer tuit, pero no es lo que, obviamente, se entiende al enunciar la frase original.

4/7

Todo lo anterior está perfectamente claro tal como lo he expresado (eso espero). Sin embargo, la paradoja ha dado muchos quebraderos de cabeza. ¿Por qué?

5/7

No porque no se supiera qué había de mal en ella, sino porque no estaba claro cómo expresarla lógicamente, de manera que se pudiera mostrar formalmente dónde estaba el error del razonamiento.

6/7

De hecho, la expresión más usada de la paradoja es «Si esta frase es cierta, entonces X», donde X es cualquier cosa que a cada quien se le ocurriera. El problema estaba en captar esa autorreferencia.

7/7

Las formalizaciones lógicas ingenuas (que no distinguen los dos niveles de referencia al error) permitían (aparentemente) demostrar cualquier proposición X.

Es que hay que tener cuidado con las formalizaciones ingenuas. Podéis haceros una idea de los intentos (y los problemas) de formalizar la paradoja en la wikipedia en inglés (aquí).

Y eso es lo que quería contar.

¿Qué es el azar?

Recojo en esta entrada un hilo sobre el azar que publiqué en twitter, para darle algo más de permanencia.

1/10

¿Existe el azar?

No: lo que pasa es que no sabemos todas las causas o no tenemos capacidad para conocer los efectos con precisión.

Sí: hay fenómenos sin causa, p.e., ¿por qué se desintegra un átomo de uranio y no el de al lado, que es exactamente igual?

2/10

A mi entender la cuestión y las respuestas están mal enfocadas:

La cuestión prejuzga una causalidad imposible de definir bien. Solo en un modelo riguroso podremos atribuir causalidad a los cambios en las condiciones iniciales que implican cambios en algunas variables.

3/10

La primera respuesta prejuzga que todo debe tener causa. Es algo que corresponde a nuestra intuición, pero que todo deba tener una causa es una afirmación indemostrable.

4/10

La segunda prejuzga que nuestro conocimiento de la realidad es lo suficientemente completo para hacer esa afirmación. Podríamos estar viviendo en un mundo Matrix donde se ha programado que este átomo se desintegre y ese otro, no.

5/10

Incluso si decimos que para ciertas cosas no existe el azar fundamental (?) (tirar una moneda) y para otras sí (mecánica cuántica), seguimos sin saber si, a pesar de ello, podemos hablar de azar (¿subjetivo?) en las primeras.

6/10

La (vieja) discusión matemática y, con ella, la filosófica, venía de ahí: ya sabéis, que si el frecuencialismo, que si el bayesianismo.

¿Tiene, p.e., sentido hablar de probabilidad (azar) para eventos que ocurren solo una vez?

Hay quien dice que no.

7/10

Pero nunca hay dos eventos exactamente iguales. Cada evento solo ocurre una vez. Ante esto, se permite hablar de eventos repetidos cuando podemos controlar bien que sean muy parecidos. Esto huele a trampa: es cuestión de grado, sin que se hable de nada fundamental.

8/10

¿Cómo salir de esto? Aceptando que lo que importa es cómo organizar nuestro conocimiento. Para ello construimos modelos, algunos con una parte aleatoria. Nos quedamos con los modelos que nos permiten interactuar mejor (según lo que podemos conocer) con la realidad.

9/10

La desigualdad de Bell, empíricamente demostrada, ¿no nos dice que hay eventos intrínsecamente azarosos? Pues sí, si nos creemos que no estamos en un universo Matrix con alguien que se quiere burlar de nosotros. Pero esto no nos dice nada sobre otros azares macroscópicos.

10/10

La parte aleatoria del modelo es el azar. La teoría moderna de la probabilidad no presenta ningún problema lógico. Filosóficamente lo presenta si quieres un fundamento distinto de la simple definición de variable aleatoria y que agrade a tus prejuicios sobre la causalidad.

Tal vez no haya armas de destrucción masiva. ¿Atacamos igualmente? (2)

Esta es la segunda parte de la versión en español de mi artículo de junio en Mapping Ignorance. Debe leerse la primera parte para entender esta.

El País 1 puede permitir inspecciones

Considérese ahora que si el País 1 decide no construir la bomba, entonces también puede decidir si permitir al País 2 que inspeccione sus instalaciones para verificar sus intenciones pacíficas. Esta estrategia no tiene sentido en caso de que el País 1 decida fabricar la bomba, pues sería atacado inmediatamente. Sin embargo, el País 1 puede perder influencia política al mostrarse como débil permitiendo la entrada a inspectores extranjeros. Si el coste de esta pérdida no es muy alto, su pago puede todavía ser mejor que la situación explicada anteriormente (en el juego original sin inspecciones), en la que había una probabilidad positiva de ser atacado. Si el coste de permitir las inspecciones es muy alto podrá tener sentido el arriesgarse a ser atacado.

Si el País 2 sabe que clase de gobierno tiene el País 1, el equilibrio es el siguiente. Si el País 1 encuentra no demasiado costoso el permitir las inspecciones, no construirá la bomba y permitirá las inspecciones, y el País 1 no atacará. Si el coste de las inspecciones es alto, el País 2 no permitirá las inspecciones y se seguirá la elección impredecible de las estrategias del juego sin inspecciones.

El País 2 no sabe el tipo del País 1

En esta variación del juego, considérese que el País 2 no sabe a ciencia cierta el tipo del País 1. Sin embargo, sí sabe que si es del tipo débil (para quien la inspección no es costosa) entonces permitirá la entrada a los inspectores. Así, si el País 1 no permite la inspección se podrá deducir que será del tipo fuerte (con altos costes si es inspeccionado). Así, el equilibrio será el mismo que en el caso anterior.

El País 2 no sabe el tipo del País 1, pero tiene servicios de espionaje

En esta nueva variación, el País 2 tiene servicios de inteligencia (SI) que pueden obtener información acerca de los planes del País 1. Sin embargo, el SI no es 100% fiable, e informa de la verdadera situación del País 1 con probabilidad p. Esto significa, por ejemplo, que si el País 1 está construyendo la bomba, el SI escribirá un informe que diga “Están construyendo la bomba” con probabilidad p, y escribirá un informa que diga “No están construyendo la bomba” con probabilidad 1-p. El caso es similar si el País 1 no está construyendo la bomba. El SI se volverá a equivocar con probabilidad 1-p.

Al introducir el SI, las estrategias del País 2 estarán condicionadas por la información recibida acerca de los planes del País 1. Esto abre cuatro posibilidades para el País 2 en caso de que el País 1 no permita inspecciones:

• Atacar no importa cuál se el informe del SI (A, A).
• Atacar si el informe dice “Bomba” y no atacar si el informe dice “No bomba” (A, NA).
• No atacar si el informe dice “Bomba” y atacar si el informe dice “Bomba” (NA, A).
• No atacar no importa lo que diga el informe (NA, NA).

Si el SI es muy fiable (la probabilidad p es cercana a uno), el País 2 elegirá (A, NA), es decir: atacar si el informe dice “Bomba” y no atacar si dice “No bomba”. Si, en cambio, la probabilidad p es pequeña (el SI es poco fiable), el equilibrio implicará elegir aleatoriamente entre (A, A) y (A, NA) o entre (A, NA), (NA, NA), para ser impredecible. Cuando p es alto los beneficios para los países cambian linealmente con el valor de la probabilidad mientras el equilibrio siga siendo (A, NA). Si la probabilidad p se hace demasiado baja, llegará un momento en que el equilibrio pase de (A, NA) a uno de los otros dos antes mencionados, por ejemplo al que supone los resultados (A, A) y (A, NA) de manera aleatoria, y eso implica un salto grande en la probabilidad de elegir A y elegir A si el informe es negativo (esto es lo que implica elegir (A, A)).

El resultado es que, incluso en el caso de que el País 1 no construya la bomba y el SI así lo informa, el País atacará con alta probabilidad.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hace tres años en el blog: Beneficios y Privatizaciones.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tal vez no haya armas de destrucción masiva. ¿Atacamos igualmente? (1)

Esta es la primera parte de la versión en español de mi artículo de junio en Mapping Ignorance.

El análisis de los conflictos armados tiene una tradición en la Teoría de los Juegos, empezando por los modelos clásicos de la batalla del Mar de Bismark por Haywood (1954) [1] y de la amenaza nuclear durante la Guerra Fría por Schelling (1960) [2]. Análisis más recientes han centrado la atención en la incertidumbre sobre la capacidad de destrucción de una de las partes. En este contexto, Jelnoy et al. (2017) [3] muestran cómo la decisión estratégica de emprender un ataque preventivo contra un país hostil puede llevarse acabo con alta probabilidad incluso si los informes de inteligencia indican que el país no supone una amenaza. Por supuesto, la explicación estratégica no dice nada acerca de la ética de esa situación. A continuación presento una versión simplificada del modelo en Jelnov et al. (2017).

El País 1 debe decidir si construir una bomba (o cualquier sistema de armas de alta capacidad de destrucción) o no hacerlo. El País 2 debe decidir si atacar o no las instalaciones del País 1 para prevenir el desarrollo y fabricación de la bomba. Cada país debe decidir sin saber el plan del otro.

Hay cuatro posibles combinaciones estratégicas: (Bomba, Atacar), (Bomba, No atacar), (No bomba, Atacar) y (No bomba, No atacar). Las preferencias naturales de los países son tales que, si el País 1 construye la bomba, el País 2 prefiere atacar; mientras que si el País 1 no construye la bomba, el País 2 prefiere no atacar. Además, si el País 2 ataca, el País 1 prefiere no construir la bomba (tras el ataque, el País 1 tendrá más simpatías en la comunidad internacional), pero si el País 2 no ataca, el País 1 prefiere construir la bomba. Recuérdese que estas son las preferencias sobre resultados hipotéticos, y que no se dice nada acerca de decisiones de los países condicionadas a lo que hace el otro, puesto que no se pueden condicionar las acciones de esta manera al decidir sin sabe lo que hace el otro. Podemos ilustrar estas preferencias en la siguiente secuencia, donde cada acción indica cuál sería la respuesta ideal a la acción rival en caso de ser conocida:

Bomba -> Atacar -> No bomba -> No atacar -> Bomba -> …

Este juego no es muy diferente de los tiros de penalti en el fútbol, donde el delantero debe decidir si tirar hacia la derecha o la izquierda, mientras que el portero debe también decidir si saltar hacia la derecha o la izquierda. Como el balón va muy rápido, el portero debe tomar la decisión antes de verlo venir. Delantero y portero tienen diferentes opiniones sobre los resultados, que pueden ser ilustradas en una secuencia similar:

Delantero tira a la izquierda -> Portero salta a la izquierda -> Delantero tira a la derecha -> Portero salta a la derecha -> Delantero tira a la izquierda -> …

La mejor estrategia para ambos, delantero y portero, es ser impredecibles y elegir su acción de manera aleatoria, pero no necesariamente al 50% cada una. Las probabilidades correctas dependen de las habilidades de delantero y portero en cada lado. Por ejemplo, el resultado (Delantero izquierda, Portero derecha) puede ser peor para el delantero que el resultado (Delantero derecha, Portero izquierda) porque su probabilidad de marcar gol sea mayor cuando tira hacia la derecha. El cálculo de la manera correcta de echar a suertes no es difícil y llevarán a un resultado en términos de probabilidad de marcar.

Por razones similares, los países 1 y 2 también deben ser impredecibles. En este caso, la decisión implicará una utilidad esperada de los diferentes resultados calculada según las probabilidades con que cada país elige su estrategia.

Referencias:

1. Haywood, O.G. 1945. Military decision and Game Theory. Journal of the Operations Research Society of America 2 (4), 365-385.

2. Schelling, T.C., 1960. The Strategy of Conflict. Harvard University Press.

3. Jelmov, A.; Tauman, Y., y Zeckhauser, R. 2017. Attacking the unknown weapons of a potential bomb builder: The impact of intelligence on the strategic interaction. Games and Economic Behavior 10, 177–189.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hace cinco años en el blog: La política de los economistas.
Y también: La separación por sexos en la escuela.
Y también: Últimas preguntas, preguntas siguientes.
Hace tres años en el blog: Los mitos de la razón. El Velo de la Ignorancia.
Y también: Cómo no medir el esfuerzo fiscal.
Y también: Los mitos de la razón. El Eslabón Perdido.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

La racionalidad de jugar a la lotería o por qué algunos matemáticos deberían estudiar economía antes de hablar

Como cada año por estas fechas hay alguien que nos recuerda que jugar a la lotería es una mala decisión. La razón básica es que el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional dedica el 70% de la emisión a premios. Esto quiere decir que la esperanza matemática (la media) al jugar es recuperar 70 céntimos por cada euro gastado, a lo que hay que restar los impuestos. ¿Es esto irracional?

1. No hay nada irracional en ser un amante de riesgo. La mayor parte de la gente prefiere 50 euros en mano que jugárselos a doble o nada tirando una moneda al aire, pero no hay nada contradictorio en preferir jugárselo. Más aún, lo mismo que mucha gente preferirá 45 euros en mano antes que tener 0 o 100 a cara y cruz, puede haber alguien que prefiera ese juego antes que 55 en mano.

2. Incluso si uno prefiere 45 en mano que 0 o 100 a cara y cruz, si el juego se estima emocionante, además del premio 100 habrá que sumar la emoción de jugar y eso bien puede dar una situación preferida. Esto es distinto de ser amante del riesgo, puesto que depende de que el juego sea emocionante o no.

3. Ana y Bea prefieren 55 euros antes que pagar esa cantidad por entrar en el juego de ganar 0 o 100 a cara y cruz, pero ambas se sentirán mal por no haber jugado si la otra gana. Solo se tira una moneda y ganan o pierden todas las que hayan jugado. Si Ana participa y Bea no, tendremos que Bea se sentirá mal con probabilidad ½. Así, en caso de no jugar, Bea tiene sus 55 euros y una probabilidad de sentirse mal. Eso puede ser peor que jugar y ganar 50 euros de media. Sucederá si la frustración por no haber jugado y que Ana gane (multiplicada o afectada de otra manera por la probabilidad de que ocurra) es mayor que 5 euros.

Podemos representar esta situación como un juego en que ambas deben decidir si entrar en la lotería a cara y cruz pagando 55 euros o no. Para fijar ideas pongamos que la frustración en caso de que la otra gane y no haber participado es de 20. El primer número de cada casilla antes de la coma es el pago de Ana y el segundo, tras la coma, el de Bea. Ambos están miden utilidad, no dinero.

En este juego hay dos equilibrios: (i) ambas juegan y (ii) ninguna juega. Si Bea juega, lo mejor que puede hacer Ana es jugar también (gana 50 en lugar de 45). Si Bea no juega, lo mejor para Ana es no jugar (gana 55 en lugar de 50). Las jugadoras pueden elegir su acción, pero no el equilibrio. Así que no hay nada irracional estar en un equilibrio u otro.

4. Eneko prefiere también 55 en mano que ciento volando (a cara y cruz), pero si pudiera ganar por lo menos 30.000 euros podría acceder a muchas cosas que ahora no puede. Por ejemplo, podría mantenerse durante un año y pagarse un máster que le garantice un buen trabajo. No hay nadie que le pueda prestar ese dinero ni tiene posibilidad alguna de ahorrarlo en un futuro cercano. Hay, sin embargo, una lotería que vende mil números y que ofrece un premio de 30.000 euros a uno de ellos al azar. No hay nada irracional en que Eneko compre un billete de esa lotería por 40 euros aunque su ganancia esperada sea de 30 euros, puesto que a los 30.000 euros en caso de ganar hay que añadir todo lo que puede ganar con esos 30.000 euros y que no puede ganar en ninguna proporción con una cantidad menor (esto último es la clave para no liarnos con otros ejemplos). En general, si con el premio puedes acceder a un estatus o a un bien o servicio indivisible a los que no puedes acceder en ninguna medida sin por lo menos ese premio, tendremos una justificación racional para jugar a la lotería.

Yo no juego a la lotería excepto por alguna pequeña participación o algún décimo que siempre me acaban colocando en la de Navidad. No lo hago porque no soy amante del riesgo, porque no me emociona demasiado apostar en juegos de azar, porque no me da envidia que alguien gane y yo no lo haga (o no la suficiente para que, ponderada por su probabilidad, me merezca la pena jugar), y porque no se me ocurre nada que me coloque en el caso 4 (no que no se me ocurran cosas que hacer con ese dinero, sino cosas que sean un salto cualitativo tan grande al que no pueda acceder en menor proporción sin tanto dinero y que combinadas con la probabilidad de ganar me merezcan la pena). Pero ese soy yo, y no le voy a decir a nadie lo que tiene que hacer, excepto que esté seguro que lo que sea que le motiva a jugar esté bien ponderado con las probabilidades de ganar y perder.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hace cinco años en el blog: La Tierra es plana, pero la homeopatía no es Medicina.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

La apuesta de Pascal

Esta es la apuesta de Pascal, que nos recuerda Siesp en su blog Misterios al Descubierto:

1. Si no crees que dios exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que dios exista y en realidad sí existe, vas al infierno.
3. Si crees que dios existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que dios existe y en realidad sí existe, vas al cielo.

Es decir, en caso de que dios no exista, da igual lo que creas. En caso de que exista, es mejor creer que existe. Por lo tanto, es mejor creer en dios.

Ante este dilema (creer o no) como argumento para la creencia en dios se han opuesto muchas posturas:

• No hay razón para pensar que las consecuencias de creer o no creer sean las referidas en las proposiciones anteriores.
• La creencia por utilitarismo no sería aceptable.
• El razonamiento se basa en que la cuestión de la existencia de dios es debida al azar.

Estas tres posturas, y algunas otras, van en la dirección de no reconocer las premisas del dilema (he de confesar que no entiendo bien la tercera -debida a Bunge-, aunque eso ahora no importa). Yo creo que la crítica fundamental al dilema va mucho más allá. Incluso si aceptamos las cuatro proposiciones del planteamiento no podemos dar sentido a lo que significa el dilema, puesto que las creencias no se eligen. Lo podemos ver más claro si nos planteamos lo siguiente:

1. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad existe, te quitará dinero.
3. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad existe, te dará dinero.

No me imagino a los filósofos, que desde Voltaire a Bunge se molestaron en buscar inconsistencias al dilema de Pascal, tomándose el dilema del ratoncito Pérez lo suficientemente en serio como para hablar de si el premio es suficiente tentación como para tener una creencia sólida (Voltaire) o de si el tomar la existencia del ratoncito como algo azaroso tiene sentido científico, o es moral o filosóficamente confuso (Bunge). Más bien creo que la postura mayoritaria sería decir que la creencia en el ratoncito Pérez no se puede basar en la posibilidad de enunciar este tipo de dilemas, sino únicamente en las pruebas que tengamos de su existencia. El argumento con dios en lugar del ratoncito es exactamente igual, a pesar de que emocionalmente nos embargue más o menos uno u otro.

Esa es la postura racional, y se puede argüir que alguien irracional puede elegir creer o no creer en cosas por las razones que le dé la gana, no necesariamente las racionales. Esto es muy cierto. Lo que estaría queriendo en ese caso es lo siguiente: si alguien es irracional a la manera de elegir creencias según dice Pascal que se deben elegir, entonces elegirá creer según el argumento de Pascal. Todo muy redundante y de muy poco interés.

----------

P.D.: Esto de rechazar la racionalidad para decir que la gente es irracional de la manera que me interesa para que mi teoría sea correcta es algo que vemos a menudo en los que critican el uso de la racionalidad en algunos modelos económicos. Pascal, por lo menos, no rechazaba la racionalidad, simplemente creía erróneamente que el argumento racional era el suyo.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hace cinco años en el blog: Ni la reforma del gobierno ni la del PP.
Hace tres años en el blog: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (1).
Y también: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (2).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

¿Sabemos lo que quiere el pueblo?

La irrupción de los nuevos partidos ha atraído una renovada atención por los sistemas de votaciones. En esta entrada voy a recordar un ejemplo que se deberíamos estudiar todos desde pequeñitos, antes de que nos dejen votar. Es muy sencillo e ilustra cómo no existe “lo que quiere el pueblo”, la antesala al concepto de que no existe un sistema de votación (o de agregación de preferencias) que tenga todas las propiedades que nos gustaría (ver aquí).

Pongamos que hay una sociedad con 100 personas divididas en seis partidos (PT, PU, PV, PX, PY y PZ). Deben elegir entre cinco propuestas distintas, pero cada grupo las ordena de mejor a peor según se indica en la tabla.

Partido (# personas)	PT (33)	PU (16)	PV (3)	PX (8)	PY (18)	PZ (22)
	---------	---------	--------	--------	---------	---------
Ránking	A	B	C	C	D	E
	B	D	D	E	E	C
	C	C	B	B	C	B
	D	E	A	D	B	D
	E	A	E	A	A	A

Por ejemplo, las 100 personas pueden ser parlamentarios, los grupos, partidos políticos y las propuestas, candidatos a la presidencia.

Cuál es el candidato que debe ser elegido? Es pregunta trampa, no hay tal cosa como “el que debe ser elegido” (enunciado normativo) sin hacer referencia a una norma, y la norma puede ser una entre muchas, sin que ninguna de ellas sea claramente la más justa y mejor. Tomemos cinco posibles normas (sistemas de votación) y veamos quién gana si las personas votan sinceramente:

Regla de la pluralidad (mayoría relativa): Cada uno vota la propuesta preferida y la que más votos obtenga es la que sale elegida.

Gana A con 33 votos frente a los 16 de B, los 11 de C, los 18 de D y los 22 de E.

Recuento de Borda: Cada votante asigna cuatro puntos a su propuesta preferida y luego tres, dos, uno y cero a cada una de las siguientes según decrezcan sus preferencias. Gana la que más puntos tenga.

Gana B, que suma 33x1 + 16x4 + (3+8+22)x2 + 18x1 = 171 puntos, más que cualquier otro (p.e., A suma 33x4 + 3x1 = 136).

Método de Condorcet: Gana aquella propuesta que vence a cada una de las demás por separado. (No siempre hay un ganador de Condorcet).

Gana C: Cuando se enfrenta a A, C tiene 77 votos (y A el resto hasta 100). Frente a B, D, y E, la propuesta C tiene 51, 66 y 60, respectivamente.

Voto único transferible (segunda vuelta instantánea): Se vota una primera ronda, la propuesta con menos votos se elimina. Se vota una segunda vuelta entre las restantes, de nuevo se elimina la menos votada. Así hasta que solo queda una.

Gana D: En al primera ronda se elimina C. En la segunda ronda, de los 11 que votaron C, 3 votarán D y 8 votarán E (de ahí lo de transferible) y se eliminará B. En tercera ronda los 16 votos de B pasan a D y la cosa queda: A con 33, D con 37 y E con 30, con lo que se elimina E. Entre A y D gana D con 77 votos.

Doble vuelta: Los dos con más votos en una primera vuelta se enfrentan en segunda vuelta. Quien más votos tenga en la segunda vuelta, gana.

Gana E: En primera vuelta A y E quedan primero y segundo, respectivamente. En la segunda vuelta A obtiene 36 votos frente a los 64 de E.

Pues eso. ¿Qué quiere el pueblo?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hace cinco años en el blog: La economía de la discriminación (4).

Hace tres años en el blog: ¿Ha matado Excel a la estrella de la Troika?

Y también: La protección de los derechos de autor y el número de obras (2).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Arrow y la imposibilidad de la razón moral

Hay N votantes. Cada uno ordena según sus preferencias a los M candidatos a presidente (o a los M distintos proyectos públicos). El teorema de imposibilidad de Arrow dice que es imposible tener un sistema de agregación de las preferencias de los N votantes (un sistema de votación, p.e.) que nos dé un ránking de los candidatos para cualesquiera preferencias individuales y que cumpla las siguientes características:

1. No dictadura. Es decir, que el sistema de decisión no se fije únicamente en lo que diga uno de los votantes.
2. Monotonía. Si un votante pasa de preferir X sobre Y a preferir Y sobre X, entonces el sistema no podrá ahora elegir a X sobre Y si antes no lo hacía.
3. Independencia de alternativas irrelevantes. El orden de preferencia entre X e Y según el sistema de agregación de preferencias debe depender solo de cómo los votantes ordenan X e Y (y no de cómo ordenan, p.e., Z con respecto a X e Y).
4. Unanimidad. Si todos los votantes prefieren X antes que Y, el sistema también lo hará.

La demostración es muy ilustrativa: si un sistema cumple 2, 3 y 4 (digamos que un sistema así es coherente), entonces será dictatorial (no cumplirá 1). Hay que optar: o incoherencia o dictadura.

Voy a proponer otro territorio para el teorema. Pongamos que en lugar de N votantes tenemos N fines o ideales que uno quisiera ver cumplidos en una sociedad (libertad, igualdad, fraternidad, seguridad, responsabilidad, solidaridad, justicia, identidad,…) y los M proyectos son los M tipos de sociedades distintas que uno debe valorar. Esto tiene sentido si yo, a la hora de juzgar distintas sociedades, me fijo en cómo de bien aparecen en el ránking de la libertad, la igualdad, la fraternidad,... e intento tener una manera coherente de ponderar cada una de estas propiedades. Es decir, en mi mente estarán votando la libertad, la igualdad, la fraternidad,... para dar una valoración a cada sociedad.

Ahora hay que ver cuánto de cada uno de esos ideales cumple cada tipo de sociedad. Pongamos, por ejemplo, que una sociedad tiene mucho de libertad, poco de seguridad, y anda normal de justicia (y que solo importan estas tres cosas). Si la libertad pesa mucho, estará alta en el ránking, si la que pesa mucho es la seguridad, estará abajo. Si ambas pesan más o menos igual, o si la que más pesa es la justicia, alcanzará una posición media. Pues bien, el teorema de Arrow ahora dice que no es posible ponderar todos esos ideales de una manera coherente (que cumpla los puntos 2, 3 y 4) y que no sea dictatorial, lo que en este contexto significaría juzgar una sociedad por lo que hace en solo uno de esos ideales.

Dado lo anterior, uno puede entender la tentación de la dictadura para aquellas gentes incapaces de aceptar las imperfecciones de la democracia. También se puede entender la tentación de restringir las posiciones morales e identificarse solo con un ideal. De esta forma todo es más sencillo. Si uno identifica la libertad como el bien supremo, con solo ver qué pasa en esta dimensión tendrá una manera sencilla de evaluar moralmente todas las sociedades (y todas las propuestas de cambio de una sociedad). Esta sencillez se tendrá por profunda y superior a otras, al haber conseguido un método de análisis coherente (satisface 2, 3 y 4). Lo mismo ocurre si uno ha escogido la igualdad como valor supremo, la gloria de la patria o cualquier otro fin.

Frente a esos simples (anarcocapitalistas, comunistas, nacionalistas, etc.), víctimas de su propia dictadura moral, estamos los que intentamos tener en cuenta más fines y optamos por la democracia moral, que aquí no significa que lo que se vote sea lo aceptable moralmente, sino que cada uno de nosotros queremos ponderar todos los fines morales. Y optamos por ella a pesar de sus imperfecciones e incoherencias, a pesar de que esto requiere estar ponderando todo constantemente y a pesar de la complejidad que añade al análisis. O tal vez no a pesar de eso, sino por todo eso, porque nos obliga a estar mucho más vigilantes, actitud que uno quiere trabajar siempre en cuestiones de elección moral.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hace cinco años en el blog: La isla de los fidelios.
Hace tres años en el blog: Experimentos con mercados (1).
Y también: Experimentos con mercados (2).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Una solución a la paradoja del diablo

En esta entrada planteé la paradoja. En esta otra examiné la causa de la paradoja. Una vez entendido por qué el argumento de la paradoja es falaz toca encontrar un argumento que no lo sea y que nos resuelva el problema de decisión planteado.

La cuestión principal, recordemos, era encontrar una manera de valorar los infinitos días en el cielo (por la probabilidad de que esto ocurra), si la lotería del diablo nos envía allá, y compararlos con el daño de esperar unos días en el infierno hasta que la lotería tenga lugar y con los infinitos días en el infierno en caso de que no tengamos suerte.

Hay varias soluciones coherentes posibles. Voy a exponer una, la que creo es más natural. Imaginémonos en el infierno. En lugar de la lotería de esta paradoja, el diablo nos da a elegir entre pasar un día en el cielo hoy o pasarlo dentro de un año. Lo normal es valorar más un mismo grado de satisfacción ahora que en el futuro. Si estas son las preferencias (y si son más complicadas se pueden hacer argumentos parecidos, pero eso ya lo veremos) podemos hablar de una tasa de descuento. Por ejemplo, un día en el cielo dentro de un año equivale (en el momento presente) a 0,9 días en el cielo hoy. De manera más general podemos decir que estar mañana en el cielo equivale a D días en el cielo hoy (donde D será un número positivo menor que uno y que llamaremos tasa de descuento), estar un día en el cielo pasado mañana equivale entonces a DxD días hoy y así sucesivamente. Con estas últimas preferencias, la felicidad de estar en el cielo para siempre a partir de ahora según mi valoración de hoy será:

Si repasamos nuestras matemáticas de bachillerato sabremos que la suma anterior es exactamente igual a

siempre y cuando D sea un número mayor o igual que cero y menor que uno, pero eso es exactamente lo que es, por ser una tasa de descuento. Podemos hacer lo mismo para calcular la infelicidad de estar toda la eternidad en el infierno si C es la de un día.

1. Si decidimos jugar (día uno) hoy esperamos ganar:

Es decir: la probabilidad de ganar multiplicada por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el cielo menos la probabilidad de perder por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el infierno.

2. Si decidimos esperar a mañana (día dos) tendremos:

Es decir: el fastidio de estar hoy en el infierno (C) más la misma ganancia neta calculada antes, pero a partir de mañana (por eso la multiplicamos por la tasa de descuento).

3. Si esperamos un día más (día tres), la utilidad esperada será:

Y así sucesivamente.

Obsérvese que podemos calcular los valores numéricos de las expresiones en cuanto sepamos los valores de F, C y D. Es decir, en cuanto sepamos la valoración de estar un día en el cielo (F), un día en el infierno (C) y la paciencia (D), cosas todas ellas que tienen que ver con las preferencias personales de cada uno. Una vez valoradas las expresiones, basta elegir el día que corresponda a la de valor más alto. Para los más avanzados, se puede escribir la expresión de un día general y usar el cálculo diferencial para encontrar el día óptimo.

Haciendo unos cálculos se encuentra que para los impacientes (con tasa de descuento D=0,9), con F=1 y C=-1, lo mejor es hacer la apuesta el tercer día. Si uno es más paciente (D=0,99), para conjuntos de valores muy amplios de F y C conviene esperar hasta el noveno o décimo día.

La entrada ya se ha alargado bastante. En otra próxima discutiremos algunos aspectos de esta metodología de cálculo y algunas alternativas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hace tres años en el blog: Derechos humanos y derechos contractuales.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

La falacia en la paradoja del diablo

Recordemos la paradoja presentada en la entrada anterior, a la que me remito para los detalles:

1. Estás en el infierno para siempre.
2. El diablo te da la opción de elegir un día (y solo uno) para entrar en una lotería cuya ganancia es ir al cielo para siempre.
3. Las condiciones: si eliges hoy, la probabilidad de ir al cielo es 1/2; si eliges mañana es 2/3; si pasado mañana, 3/4; al día siguiente, 4/5, y así sucesivamente.
4. La paradoja: siempre merece la pena esperar un día más, pues se cambia un día en el infierno por aumentar la probabilidad de estar toda la eternidad en el cielo.

Y ahora, con ustedes, la resolución de la paradoja.

La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo nos da una felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad. Multiplicada por un incremento de probabilidad por pequeño que sea nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el coste es una infelicidad finita de estar un día más en el infierno.

El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, F (en la escala apropiada), estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

F+ F + F + F +…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria (entre dos elementos) que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos. Cuando se cumplen ciertas condiciones sí se puede hablar de sumas infinitas, pero para ello la serie sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer porque dando como resultado el límite de las sumas parciales se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa,…). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Es decir, que el enunciado de la paradoja nos está metiendo un gol al hacer parte de su argumentario una suma infinita carente de significado. No es que diga algo falso cuando dice eso, sino que dice un sinsentido. Lo falso es concluir algo de un sinsentido y esa es la falacia. Cosas parecidas nos encontramos en la paradoja de la lámpara de Thompson.

La cuestión siguiente será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces? Esperen ustedes unos días más en el infierno de la ignorancia y en la próxima entrada contestaré a la pregunta y les llevaré a la felicidad de la sabiduría por siempre jamás.

En una próxima entrada diré cómo afrontar esta oferta del diablo.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hace tres años en el blog: France Télécome, ¿tenemos un problema?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

La paradoja del diablo

Esta es la paradoja del diablo:

Estás en el infierno, condenado para toda la eternidad. El diablo te ofrece una salida. Solo tienes que decidir qué día participar en una lotería en la que, si ganas, vas al cielo también para toda la eternidad y, si pierdes, te quedas como estabas, en el infierno para siempre jamás. El truco es que las probabilidades de ganar cambian cada día de la siguiente manera: si eliges que la lotería sea hoy la probabilidad de ganar es 1/2, si eliges que sea mañana pasará a ser 2/3, pasado mañana será 3/4, al día siguiente 4/5 y así sucesivamente. Como vemos, a medida que esperas la probabilidad de ganar aumenta. Permíteme que insista: la lotería es solo una vez, ganes o pierdas, ya no habrá más. Suponemos, habrá que decirlo, que el infierno te disgusta mucho (quema y eso) y el cielo te encanta (hay más atracciones aparte de estar tocando la lira).

La paradoja surge porque pareciera que siempre conviene esperar un día más. Por mucho que te disguste el infierno y te guste el cielo, esperar un día más supone estar un día en el infierno a cambio de un aumento de la probabilidad de estar infinitos días en el cielo. Por pequeño que sea este aumento, es un aumento y es por infinitos días. Claro que si siempre merece la pena esperar, entonces te quedas siempre en el infierno, cosa que tampoco quieres.

Este es el planteamiento. Hay quien lo relaciona con la apuesta de Pascal (podéis verlo aquí). Yo las veo muy distintas, pero de eso ya hablaré en otro momento. Ahora os dejo la paradoja para que le deis vueltas. En una próxima entrada explicaré la falacia y en otra daré la solución.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hace tres años en el blog: Preguntas últimas, preguntas siguientes.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

El dilema del tranvía

Hace unas semanas hablamos de los problemas de tranvías en el Otto Neurath y poco después acudí a un seminario del psicólogo Robert Kurzban, que los utiliza como ejemplo de su tesis sobre la mente modular. Me persiguen desde que me dedico a la teoría de los juegos, así que aquí va una entrada para ellos.

Un tranvía está en loca carrera sin frenos a punto de arrollar y matar con toda seguridad a un grupo de 10 personas. La única posibilidad de salvarlos es desviar el tranvía a otra vía en la que solo hay una persona, que también morirá irremediablemente si se hace ese desvío. ¿Qué harías si tuvieras la posibilidad de apretar el botón que active el desvío?

Este tipo de problemas nos muestran que nuestras posiciones morales pudieran no tener una buena justificación.

Esto último es así porque está documentado en experimento tras experimento (mentales, claro, nunca se mata a nadie) que las respuestas a la pregunta crucial depende de variables aparentemente irrelevantes.

Por ejemplo, la respuesta varía si la persona a la que sacrificar es un trabajador de la compañía que hace su trabajo reparando la vía o es una persona que camina irresponsablemente por ella, o si en lugar de desviar el tranvía lo que se puede hacer es arrojar a una persona desde un puente para que caiga delante del tranvía y lo haga descarrilar, o si no se sabe en qué posición está el interruptor que hace desviarse al tranvía, pero se puede dar la orden de que se quede en la que queremos, y así infinitas variaciones del tema.

¿Por qué habría de cambiar la respuesta? ¿Qué tal si esas 10 personas son ciudadanos en un hospital que morirán si no reciben un transplante y la persona que puede salvarlos y morir al donar sus órganos es un ciudadano cualquiera? En todos los casos se trata de 10 vidas frente a una.

Esta es mi postura ante el problema del tranvía. Por una parte debo decir que si el dilema es exactamente como se describe en cada problema, entonces la decisión debe ser la misma en todos ellos. El problema, a mi entender, radica en que no hay manera de pensar ninguno de los problemas en su descripción exacta. Me pasa lo mismo que cuando intento explicar el equilibrio en un juego. Logro ser más convincente cuando exagero hasta el ridículo el contexto del juego: dos personas nacen, juegan el juego, son lo felices que les toque ser según el resultado y se mueren. Ese es todo su universo. En esas circunstancias es más aceptable el equilibrio. Claro que esas son exactamente las circunstancias del modelo, pero es claro también que no existen de esa manera en el mundo real.

Pienso que nos ocurre los mismo con los problemas de tranvías. Tomados al pie de la letra requieren una solución única, tomados en contexto –y cada uno es libre o esclavo de sus instintos de montarse un contexto- pueden estar pidiendo a gritos soluciones distintas.

Una sociedad que sacrifique al azar un ciudadano para donar sus órganos es poco apetecible y poco viable. Sospechosamente, los órganos de los familiares de los ministros o de los médicos se verán poco en el quirófano, los ciudadanos dedicarán grandes recursos a esconderse de las patrullas que buscan donante, .... Este tipo de arbitrariedades, con sus costes añadidos puede estar detrás de una regla impresa en nuestro cerebro que diga que es una mala manera de decidir. Otras reglas, tal vez justificadas, tal vez confundidas, pueden estar detrás de reacciones distintas en las otras versiones del problema.