「途中の点」で起きていること
ある図が、一筆書きできたとしましょう。このとき、どのようなことが起こっているかを見てみます。
点は何度通ってもいいので、書いている途中の点においては、「入る線」と「出る線」とで2本が対（つい）になります。
つまり、書き始めの点でもなく、書き終わりの点でもない「途中の点」に集まっている線は、偶数本です。
「書き始め／書き終わり」の点では？
それでは、「書き始めの点」と「書き終わりの点」では、どうなっているでしょうか。
書き始めの点と書き終わりの点が異なるとしましょう。次の左の図が書き始めの点を、右の図が書き終わりの点を示しています。
書き始めの点を途中で通るときは、2本が対になるので、書き始めの線を加えて、奇数本の線が書き始めの点に集まります。同じように、書き終わりの点も、最後に入ってくる線を含めて、奇数本の線が集まります。
書き始めの点と書き終わりの点が同じであるとしましょう。この点を途中で通るときは、やはり2本が対になるので、書き始めの線と書き終わりの線を加えて、偶数本の線がこの点に集まります。
「書き始めてはいけない点」とは？
以上のことから、
一筆書きができる場合は、
- 書き始めの点と書き終わりの点が異なれば、奇数本の線が集まっている点が2個、
- 書き始めと書き終わりの点が同じならば、奇数本の線が集まっている点が0個である
ことがわかります。
そして前者の場合は、「奇数本の線が集まっている点」が、書き始めの点か書き終わりの点になるので、図1で「偶数本の線が集まっている点」、すなわち点Bから書き始めると、一筆書きができないのです。
一方、次の図のように、「一筆書きができ、かつ、書き始めの点と書き終わりの点が同じである」場合は、どこから書き始めても一筆書きができます。
そして、逆に「奇数本の線が集まっている点が0か2個であれば一筆書きができる」ことを示すことができますが、少し難しくなるので省略します。
ここまでを理解したところで、いよいよ「ケーニヒスベルクの7つの橋」の問題を考えてみましょう。
