何かの値を求めるとき、ざっくりとした答えを求めるべきか、正確な値を求めるべきか。このような疑問を持つことはあまりないかもしれませんが、いきなり正確な値を求めることが難しい場面は多々あります。
今回は、数学者たちは、どのようにより細かい値を求めるために努力してきたのか、そしてその発想とはいわば真逆の「フェルミ推定」について紹介していきます。
円周率や地球の大きさの「正確な値」を求めて
より精度の高い答えに近づくため、人間は様々な値を求めてきました。数学の技術を活用して徐々にその値を正しい値に近づけていった話は非常に興味深いものです。
ここでもいくつかの例を取り上げていきましょう。まずは代表的なものとして「円周率」の値です。
円周率とは簡単に言えば「円周の長さは直径の何倍か」を表す値です。古くから、円周率は「直径の3つとすこし」であることが分かっていました。円形の対象物に対して紐やメジャーなど活用しうまく測れば「3.15くらい」であることまでは求めることができます。
測るのではなく計算をしてより細かい値まで求めた最初の人物として有名なのはアルキメデスです。彼は「多角形を円に内接させる」という方法を使って、円周率は約3.1408から約3.1429の間であることを求めました。
小数第2位までは正確な値、というのは現代の私達からすれば全然まだまだ、と思えるかもしれません。しかし、アルキメデスの得た値は正96角形を使った、非常に丁寧で大変な工程を経て求められたものです。
正96角形（わかりやすいように頂点に印をつけています）
16世紀にルドルフ・ファン・コーレンという数学者が、正4611686018427387904角形（「2の62乗」角形＝約461京角形）を用いて、円周率を35桁目まで正しく計算しています。より正確な値を目指していくことの大変さが伝わってくることでしょう。
その後、円周率を求めることができる計算式が発見され、さらに先の桁まで値を求められるようになりましたが、そこまでの過程には私たちの想像を絶する地道な努力があったのです。
円周率を求める数式については過去記事『2000年間も数学者を苦しめた「3つの難題」挑戦してみませんか？』（https://gendai.ismedia.jp/articles/-/67576） で詳しく解説しています。
