ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。
その名は「アインシュタイン・タイル」。
2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？
ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。
パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。
※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
すべり鏡映対称性
前回の記事に続いて、平面図形に現れる対称性について見ていきましょう。まずは「すべり鏡映対称性」から。
「すべり鏡映」とは、一定形状や模様を鏡映にしたうえで平行移動したものを指し、英語では「グライド（glide）」といいます。
前回の記事で登場した「平行移動」と「鏡映」をプラスした移動と考えても結構です。
すべり鏡映の対称性も平面に広がる模様だけがもちうるもので、壁紙のパターンなどでよく使われます。
回転対称性
星形や桜の花びらは、中心点で72度（右でも左でも）傾け（回転す）ると、形状がぴったりと重なります。
星形や桜の花びらは、中心点で72度傾け（回転す）ると、形状がぴったりと重なる
たとえば右に72度ずつ回転すれば、5回めで元に戻るでしょう。
このような形状は「5回回転対称性がある」、あるいは回転を省いて「5回対称性がある」と表現します。『ペンローズの幾何学』でも、回転という語はなるべく省略しています。
上図の中央に示す「卍」に4回対称性があるのは、説明しなくとも明らかでしょう。
ところが、表面に描かれた内容も含めて考えると、また違うようすが見えてきます。
