素數算術數列

德國數學家狄利克雷 (Peter Dirichlet 1805-1859)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

　

所謂算術數列 (Arithmetic Sequence 或 Arithmetic Progression) 又稱等差數列，即一數列中每相鄰的兩項的相差均一樣。

如 1, 3, 5, 7, ... 這是首項為 1，而公差為 2 的算術數列。

根據狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorm)：任何等差數列，只要首項和公差互素 (Coprime 或 Relatively Prime)，當中便存有無限多個素數。

例如，到底會否存有無限多個占士邦素數 (James Bond's Prime)，即最末三個位是 007 的素數？

根據狄利克雷定理，在數列 7, 1007, 2007, 3007, ... 中存有無限多個素數，因數列的首項 7 與公差 1000 互素，故存在無限多個占士邦素數。

占士邦素數如 4007、6007、9007 等。

　

但到底又有多少個連續出現的素數呢？素算術數列 (Prime Arithmetric Progression) 會否有無限長呢？

人們因此對由素數組成的算術數列似乎很有興趣。

素數個數 n	公差 d	首項 a	未項 a+(n-1)d	發現年份	發現者
12	30030	23143	353473	1958	古魯比夫 (V. A. Golubev)
13	510510	766439	6892559	1965	斯列甸斯基 (W. N. Seredonski)
14	2462460	46883579	78895559	不詳	不詳
16	9699690	53297929	198793279	不詳	不詳
16	223092870	2236133941	5582526991	1969	胡治 (Stephen C. Root)
17	87297210	3430751869	4827507229	1977	溫杜比 (S. Weintraub)
18	717777060	4808316343	17010526363	不詳	比治赫特 (Paul Pritchard)
19	4180566390	8297644387	83547839407	不詳	比治赫特 (Paul Pritchard)
19	13608665070	244290205469	489246176729	1987	范利 (James Fry)
20	2007835830	803467381001	841616261771	1987	范利 (James Fry)
20	7643355720	1140997291211	1286221049891	1987	范利 (James Fry)
20	18846497670	214861583621	572945039351	1987	楊格 (Jeffrey Young) / 范利 (James Fry)
20	1140004565700	1845449006227	23505535754527	1990	摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard)
20	19855265430	24845147147111	25222397190281	1990	摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard)
21	1419763024680	142072321123	28537332814723	1990	摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard)
22	4609098694200	11410337850553	108201410428753	1993	比治赫特 (Paul Pritchard)

　

參考文獻及網址：

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes ." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14.

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991