Seno (geometría)

Seno Concepto: Relativo a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, razón entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Seno. En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Razones en el triángulo rectángulo

Figura 1

Las razones (cocientes) entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de sus ángulos agudos. Veamos esta afirmación con más detenimiento (figura 1):
Sea MAN un ángulo agudo. Desde un punto cualquiera de uno de sus lados (B) distinto del vértice A consideremos una recta perpendicular al otro lado, formando el triángulo ABC rectángulo en C, o sea con catetos de longitudes a y b, e hipotenusa c.
Sea B' otro punto cualquiera (B' ≠ A) del lado AM y B un punto cualquiera (B ≠ A) del lado AN. Consideremos las perpendiculares B'C' y BC a AN y AM respectivamente. Los tres triángulos ABC, AB'C' y ABC tienen sus ángulos iguales (ya que son rectángulos y tienen un ángulo común), luego son semejantes, y como tales sus lados homólogos son proporcionales.

Seno

Estas razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son de importancia fundamental en el estudio de la trigonometría. Para un ángulo agudo del triángulo rectángulo, a la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa del tríangulo rectángulo se le llama Seno del ángulo y se denota por sen (sin), o sea:
sen α = a/c, y sen β = b/c

Valores del seno para los ángulos notables de 30°, 45° y 60°

Figura 2

Consideremos un triángulo ABC equilátero de lado 2 (figura 2). Sea BD la perpendicular por B a AC. En en triángulo ADB rectángulo en D se tiene que el ángulo DAB mide 60° y el ángulo ABD mide 30°, AB = 2, AD = 1, BD = √3, por lo tanto:
sen 30° = 1/2
sen 60° = √3/2
Para comprobar que sen 45° = √2/2 basta considerar un triángulo rectángulo isósceles.

Seno de la diferencia de ángulos

Sea el triángulo OAB con A(x₁, y₁) B ( x₂, y₂) y O el origen

en coordenadas polares A (ρ₁ , φ₁); B (ρ₂ , φ₂)

el área del triángulo es 0.5(x₁y₂- x₂y₁) → (1)

x₁ = ρ₁ cos φ₁; y₁ = ρ₁ sen φ₁; x₂ = ρ₂ cos φ₂; y₂ = ρ₂ sen φ₂

El área en coordenadas polares es 0.5 ρ₁ ρ₂ sen (φ₂-φ₁)

según (1) resulta 0.5 ρ₁ ρ₂ ( sen φ₁ cos φ₂- cos φ₁ sen φ₂)

De donde sen (φ₂-φ₁) = sen φ₁ cos φ₂- cos φ₁ sen φ₂, la conocida fórmula de la trigonometría.

Fuentes

• Wikipedia
• ditutor.com