Tänään pääsemme ensimmäiseen varsinaiseen todistukseen - tai ainakin "osatodistukseen". Esittelen myös algoritmin, joka kertoo meille potentiaalisten alkulukuparien määrän rajattoman suuressa matriisissa.
Algoritmi, jonka esittelen, tulee olemaan eksakti. Toisin sanoen siinä ei ole minkäänlaista virhemarginaalia. Yleensä alkuluvuista ei ole tapana esittää funktiota, jossa ei olisi huomattavaa epätäsmällisyyttä tai vähintään muutamia ennakoimattomia poikkeamia. Esimerkiksi alkulukulause osuu maaliinsa lähinnä vain siitä syystä, että maali on ladon seinän kokoinen. ALL kyllä osoittaa oikeaan suuntaan, mutta sen varassa en lähtisi suorittamaan kirurgista operaatiota.
Oma algoritmini on täsmällinen siitä syystä, että se kertoo VAIN tunnettujen tekijöiden ja alkulukujen suhteen. Toisin sanoen se tiedostaa myös oman virhemarginaalinsa, eli tekijät joita emme ole määrittäneet. Se on määritelmänsä puitteissa erehtymätön, mutta se toimii pitkälti pimeässä, eli tarjoaa vain tietyn osan alkulukuja koskevasta informaatiota.
Joidenkin matemaatikoiden intuitio tulee tämän kirjoituksen jälkeen myöntämään, että kysymys alkulukuparien rajattomasta määrästä on ratkennut. Itse en ajattele niin - enää. Ajattelen, että asia on ratkaistu vasta seuraavienn kolmen kirjoitukseni jälkeen, joissa käyn läpi Goldbachin hypoteesia ja muutamia muita ongelmia - joista osa on peräisin tämänpäiväisestä todistuksesta.
Tekijän kierto
Tarkastellaan edellisen osan pimeää matriisia vielä kerran. Tällä kertaa olen nostanut pimeydestä esiin tekijän 7 reitin läpi origosta origoon.
 |
| Klikkaa isommaksi! |
Kutsun tekijänkierrokseksi ilmiötä, jonka voi todistaa myös loogisesti:
VÄITE
Uusi varteenotettava tekijä vierailee muiden tekijöiden muodostaman matriisin jokaisessa ruudussa kerran, ennen kuin kohtaa ne kaikki uudessa origossa (tässä tapauksessa 2 x 3 x 5 x 7 = 210).
LÄHTÖOLETUKSET:
Luku nolla sisältää kaikki tekijät, joten ne lähtevät samalta viivalta. Uusi tekijä voi kohdata matriisin tunnetut tekijät samassa ruudussa vasta, kun ne kaikki ovat tuon luvun (210) tekijöitä (2x3x5x7). Jos tuo luku jaetaan uudella tekijällä (7), saadaan tulokseksi muiden tekijöiden tulo (30). Tämän määrän askeleita tekijä joutuu kulkemaan saavuttaakseen uuden origon.
TODISTUS:
Jos uusi tekijä matkaltessaan origosta astuisi kaksi kertaa matriisin tiettyyn ruutuun ennen kuin se saavuttaisi origoa, se tarkoittaisi ettei se saavuttaisi origoa koskaan. Sen askelet ovat määrämittaisia ja matriisi on toistuessaan aina saman kokoinen. Käytyään ruudussa X, tekijä astuu ruutuun Y ja sitten ruutuun Z.. Jos se astuu uudestaan ruutuun X vähemmällä kuin 30 askelella, ja käymättä origossa, se astuisi seuraavaksi ruutuun Y, sitten ruutuun Z... ja taas ruutuun X käymättä vieläkään origossa.
Tekijä astuu jokaiseen matriisiin ruutuun 30 askelen välein, joten se astuu niihin jokaiseen tasan yhden kerran kiertäessään matriisia origosta origoon.
Ja mitä me tästä sitten voimme oppia?
Vihdoinkin me tiedämme jotain myös varteenotettavista tekijöistä. Voimme yleistää tämän havainnon kaikkiin uusiin tekijöihin ja muodostaa algoritmeja rajattoman suurista matriiseista. Niiden sisältö ei näyttäydy enää satunnaisena vaan on hyvinkin tarkkaan määritettävissä. Tunnemme muutkin paitsi tunnetut tekijät.
Koska mielenkiintoomme oli alkulukupareissa, lasken seuraavaksi kuinka monta parillista aukkokohtaa matriisit sisältävät. Ja koska matriisit toistuvat äärettömästi samanlaisina, tiedämme mistä etsiä - ja montako paria voimme odottaa löytävämme.
Alkulukuparien määrä matriisissa ja ALP
Tiedämme, että matriisissa 2x3 on yksi alkulukupari: 6n+1 ja 6n-1. Seuraava matriisi on viisi kertaa laajempi, joten tämän muotoisia pareja siitä voisi olettaa löytyvän viisi. Uusi tekijä, luku 5, on kuitenkin matkallaan origosta origoon tärvellyt jokaisen ruudukon tasan kerran.
Tiedämme, ettei mikään tekijä pysty samalla kertaa astumaan saman alkulukuparin molempiin ruutuihin - koska välimatka on vain 2 ruudun mittainen. Niinpä sen tärvelemät ruudut 6n+1 ja 6n-1 kuuluvat kahteen eri alkulkupariin. Tämä on tietenkin yleistettävissä kaikkiin uusin tekijöihin.
Matriisissa 2x6 oli siis 1 pari. Kerromme sen viidellä, mutta vähennämme 2 - ne jotka tekijä 5 turmeli. Niinpä uudessa matriisissa on 3 alkulukuparia. (huom. pareja 3 ja 5 tai 5 ja 7 ei lasketa, koska kyseiset luvut ovat nyt tekijöitä ja koska nuo sijainnit eivät enää ikinä tule tuottamaan alkulukupareja.)
Saimme siis tulokseksi 3. Jos katsomme matriisia Origo30, näemme että laskelma piti kutinsa. Miten sitten laskemme seuraavan matriisin arvon?
Uusi tekijä on 7. Uusi matriisi on myös 7 kertaa aiempaa laajempi, joten jo löytämämme 3 parillista aukkokohtaa toistuvat nyt 7 kertaa. Luku 7 kuitenkin turmelee jälleen tuplasti pareja, koska se astuu yhden kerran jokaisen parin kumpaankin ruutuun. Saamme siis tulokseksi 3 x 7 - 3 - 3. Tämä voidaan siistiä muotoon 3 x (7-2) = 15.
 |
| AL-Pari-Algoritmi |
Jälleen tulos vastaa aiempia havaintoja täydellisesti. Matriisissa 210 on todellakin löydettävissä 15 alkulukuja tuottavaa funktiota. Jos haluaisimme tietää montako näistä funktioista toteutuu meidän tulisi laajentaa algoritmiä tarkoitusta varten muokatulla logaritmi-osalla, jossa laskisimme varteenotettavien tekijöiden likiarvon välillä T(suurin tekijä) - tutkitun alueen neliö.
Itse asiassa lukujen 0 ja 210 välillä on tismalleen 15 alkulukuparia, mutta tämä johtaa harhaan. Kaksi matriisin potentiaalisista alkuluvuista jää toteutumatta lukujen "13 x 13" ja "11 x 19" puututtua tapahtumiin - kun taas parit 3 ja 5 sekä 5 ja 7 olen määritellyt matriisiin kuulumattomiksi. Tällä tavoin todellinen arvo tasautuu vastaamaan ennustettua arvoa hieman kyseenalaisella tavoin - ja vain tässä matriisissa. En siis väitä, että algoritmi "ennustaisi" yhtään mitään. Se opastaa katsomaan ilmiöiden taustoja.
Ääretön määrä alkulukupareja?
Lasketaan vielä seuraavan matriisin alkulukuparit: 15 (aiempi tulos) x (11 - 2) = 135. Tämä on siis pelkkä ennuste välillä 0 - 2310, vaikka se toki kertookin täysin täsmällisesti millä 135:lla eri funktiolla me voisimme metsästää alkulukupareja. Matriisissa Origo2310 on siis täsmälleen 135 potentiaalista alkulukupareja tuottavaa kohtaa tai funktion arvoa, mutta osan niistä turmelevat muut tekijät, kuten 13, 17, 19 jne.
Todellisuudessa välillä 0 - 2310 on 70 (?) alkulukuparia, joten muut tekijät syövät ennusteesta nyt jo melkein puolet.
On kuitenkin syytä optimismiin. Löytämämme algoritmi ALP = AMP x (UMT - 2), eli alkulukuparit saadaan kertomalla aiemman matriisin parit uuden matriisin "tekijällä miinus 2". Koska vähennettävä osa on vakio ja koska uusien tekijöiden koko kasvaa, tulee jokaisessa uudessa matriisissa olemaan aiempaa suurempi määrä potentiaalisia pareja.
1 x (3-2) = 1Luku kasvaa niin huimaavaa vauhtia, että moni matemaatikko puhaltaisi tässä kohtaa pelin jo poikki. Alkulukupareja on loputtomasti ja sillä selvä. Niille tarjotaan rajattomasti tilaisuuksia matriisien toistuvissa monikerroissa, joten jossakin ne jälleen ilmaantuvat, vaikka ilma vilisisi pimeänä muita potentiaalisia tekijöitä, jotka parhaansa mukaan turmelisivat potentiaalisesta alkulukuparista vähintään sen toisen osapuolen.
1 x (5-2) = 3
3 x (7-2) = 15
15 x (11-2) = 135
135 x (13-2) = 1485
parit x (uusi tekijä - 2)
Loputtoman määrän todistaminen?
Aluksi tämä riitti minulle. En ollut tavoitellut alkulukuparien loputtoman määrän todistamista vaan selittämistä. Siinä on suuri ero (vaikka tietenkin lopulta sanalliset selitykset pitäisi osata kääntää myös matematiikan kielelle.) Mielestäni olen nyt jo selittänyt miksi alkulukupareja ylipäänsä on - ja miksi niitä on niin paljon - ja mistä me voimme niitä etsiä.
Kertauksen vuoksi: Alkulukupareja syntyy, koska:
a) alkuperäisessä pienimmässä matriisissa 2x3 on yksi pari, eikä muuta. Sen pohjalta siis kaikki alkuluvut ovat parillisia, muotoa 6n + 1 ja 6n -1. Tämä parillisuus periytyy myös suurempiin matriiseihin, sillä se toimii niiden lähtökohtana.
b) Kaikki matriisit sisältävät alussa ja lopussa nollakohdan, jossa tekijät kohtaavat. Tämän nollakohdan molemmilla puolin on alkulukupari, tosin se saattaa joskus jäädä toteutumatta villien tekijöiden takia - mutta kaikissa matriiseissa se on potentiaalisesti olemassa (poikkeuksena matriisit, jossa ei ole tekijää 2, sillä silloin nollakohdan kummallakin puolella on tekijänä 2. Esim 3x5: 15 + 1 = 16 ja 15 - 1 = 14.)
c) Matriisit ovat symmetrisiä ja sisältävät itsessään aiempien matriisien alkioita, kuten suuremmat eliöt, jotka koostuvat soluista. Matriisissa O210 on esimerkiksi 7 kappaletta matriisia O30. Uusi tekijä peittää vain murto-osan aukoista, joten valtaosa pienempien matriisien pareista jatkaa elämistään uusissa isäntäeliöissään.
Seuraavaksi?
Matriisi Origo2310 sisältää jo 135 erilaista funktiota, joilla kaikilla löytyy alkulukupareja - mutta miksi tyytyä siihen, kun seuraava matriisi tarjoaa jo 1485 erilaista funktiota - joilla löytää ei vain tietyn suuren alkulukuparin vaan kaikki siltä väliltä. Matriiseilla voi haravoida esiin kaikki paikat, joissa hyvällä todennäköisyydellä on alkuluku tai kaksi.
Vielä on kuitenkin osattava liittää yhtälöön myös villit tekijät - ne joista ei ole ollut puhetta - kaikki ne sadat ja tuhannet alkuluvut, jotka kerran näyttäydyttyään muuttuvat tekijöiksi ja alkavat saalistaa alkulukuja kuin mörkö: mihin mörkö kerran astuu, siinä kohtaa ei enää koskaan kasva mitään.
Villejä tekijöitä varten voidaan muotoilla logaritmi-osa, joka antaa meille likiarvon - mutta kuten moneen kertaan olen sanonut, en ole kiinnostunut likiarvoista. Haluan ymmärtää.
Itse asiassa villeistä alkuluvuista ei ole niin paljon vaaraa kuin luulisi. Alkuluvuilla on edessään pitkä tie ennen kuin ne varttuvat tekijöiksi. Tämä on ehkä helpointa selittää, jos ensin tarkastelemme Goldbachin hypoteesia. Seuraavassa kirjoituksessa siis vihdoin aloitetaan pääruoan tarjoileminen.
PS. Tekijänkierto pätee myös laajemmin. Myös villit tekijät astuvat kuhunkin matriisin ruutuun vain yhden kerran matkallaan origosta origoon - siis omaan, kaukaiseen nollakohtaansa. Ensimmäisellä askeleellaan ne ovat alkulukuja, eivätkä enää koskaan ennen origoa astu tuohon ruutuun toista kertaa. Esimerkiksi alkuluku 19 (siis tekijä muotoa 0 x 210 + 19) on turmelemassa ruutua 210n + 19 seuraavan kerran vasta ruudussa 210 x 19 + 19, silloin ja tasan tarkkaan silloin. Emme löydä tekijää 19 ruuduista "210 x 1 +19" tai "210 x 2 +19"... aina ruutuun "210 x 18 + 19" asti.
Sama pätee ruutuun 210n - 19. Ensimmäinen tapaus on 210 x 19 - 19.
Tekijänkierroksen näkökulmasta katsottuna villien tekijöiden käytös on melko helposti ennustettavissa - tai siis tietenkin se on täydellisesti ennustettavissa, mutta yksinkertaisen säännön muotoileminen on toinen juttu.
Toinen tekijöitä koskeva rajoitus, jonka mainitsin jo ihan ensimmäisessä osassa on se, että kukin tekijä muuttuu tekijäkokelaasta varteenotettavaksi tekijäksi vasta ohitettuaan ruudun, jossa se on toisessa potenssissa. Tästä syystä alueella 0 - N meidän tulee huomioida vain tekijät, jotka ovat pienempiä kuin "neliöjuuri N". Mitä suuremmista luvuista on kyse, sitä pienempi suhteellinen osuus tekijöistä on varteenotettavia.
PPS. Entäs tämä alkulukuongelma:
Aina alkuluku välillä "n potenssiin 2 ja n+1 potenssiin 2"
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti