Ο Βαθμός

Ο Κωνσταντίνος στο μάθημα των Μαθηματικών θα γράψει 4 διαγωνίσματα των 100 μονάδων το καθένα . Έθεσε ως στόχο του να γράψει στα διαγωνίσματα τουλάχιστον μέσο όρο 95. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα έγραψε για 97 μονάδες και 91 μονάδες αντίστοιχα. Όταν είδε το βαθμό του 3^ου διαγωνίσματος κατάλαβε ότι μπορούσε ακόμα να φτάσει το στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3^ου διαγωνίσματος. (Κατ.34./Νο.707)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Λύση

Πρέπει το άθροισμα όλων των γραπτών να είναι 95*4 = 380 μονάδες. Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει 380 − 97 − 91 = 192 μονάδες Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι: 192 − 100 = 92 μονάδες. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. [(4*95)-97-91-100]=380-288=92 Λύση του Ε. Αλεξίου. Αν και είναι από τα εύκολα θέματα ( εφαρμογή μιας σχέσης ή τύπου), και πιθανόν κανείς να μην ενδιαφερθεί, χάριν της ομαλής ροής ανάρτησης θεμάτων θα δώσω μια απάντηση. Έστω «Χ» ο βαθμός του 3ου διαγωνίσματος. Για να είναι ο ελάχιστος δυνατός για μέσο όρο μεγαλύτερο ή ίσο με 95, ο βαθμός του 4ου πρέπει να είναι ο μέγιστος δυνατός, δηλαδή 100. Μέσος όρος 4 διαγωνισμάτων: [(97+91+Χ+100)/4] μεγαλύτερο ή ίσο με 95 --> (97+91+Χ+100) μεγαλύτερο ή ίσο με 95*4 --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με [380-(97+91+100)] --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με (380-288) --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με 92. Άρα 92 ο χαμηλότερος αριθμός του 3ου διαγωνίσματος για Μ.Ο. 95

Η Ψηφοφορία

Όσοι ψηφίζουν "Υπέρ", να σηκώσουν το χέρι τους, είπε ο πρόεδρος του δεκαπεντα-μελούς συμβουλίου ενός σχολείου. Μετά την καταμέτρηση, βρέθηκε ότι "Υπέρ" της πρότασης είχε ψηφίσει μια πλειοψηφία 8 μαθητών. Αποκαλύφθηκε όμως, ότι μερικοί μαθητές είχαν σηκώσει και τα δύο χέρια τους. Οι μαθητές αυτοί ήταν το 8% , εκείνων που ψήφισαν "Υπέρ". Έγινε λοιπόν νέα ψηφοφορία που έφερε το αντίθετο αποτέλεσμα. Δηλαδή, τα "Κατά", ήταν περισσότερα των "Υπέρ" κατά 4 . Πόσοι ήταν οι παρευρισκόμενοι μαθητές; (Κατ.34/Νο.706)

Λύση

Οι παραβρισκόμενοι μαθητές ήσαν 280. Έστω ότι οι μαθητές ήταν «α». Κατά την δεύτερη ψηφοφορία, όπου ήταν και η σωστή, αυτοί που ψήφισαν «Κατά» ήταν 4 περισσότεροι από αυτούς που ψήφισαν «Υπέρ». Συνεπώς «Κατά» ψήφισαν [(α/2)+2] μαθητές και «Υπέρ» ψήφισαν [(α/2-2)] μαθητές. Στην πρώτη ψηφοφορία, εκείνοι που ψήφισαν «Κατά» ήταν όσοι και στην δεύτερη ψηφοφορία, δηλαδή [(α/2)+2]. Οι ψήφοι όμως που βρέθηκαν «Υπέρ», ήσαν όσοι στην δεύτερη φορά , συν τόσοι παραπάνω, όσοι ήσαν και αυτοί που σήκωσαν και τα δύο χέρια. Αν λοιπόν ονομάσουμε «χ» τους μαθητές που διπλοψήφισαν , τότε τα «Υπέρ» την πρώτη φορά ήταν[(α/2)-2+χ]. Με βάση όμως των δεδομένων του προβλήματος, έχουμε: χ=(8/100)*[(α/2)-2+χ] --> 100χ=8*(α-2*2+2χ)/2 --> 100χ=4*(α-4+2χ) --> 100χ=4α-16+8χ --> 100χ-8χ= 4α-16 --> 92χ= 4α-16 (1) Αλλά κατά την πρώτη ψηφοφορία, οι ψήφοι που ήσαν «Υπέρ» βρέθηκαν να είναι περισσότεροι από αυτούς που ήσαν «Κατά». Συνεπώς έχουμε την εξίσωση: [(α/2)-2+χ]=[(α/2)+2+8 --> [(α-(2*2)+2χ)]/2=[(α+(2*2)+2*8]/2 --> (α-4+2χ)/2=(α+4+16)/2 --> 2*(α-4+2χ)=2*(α+20) --> 2α-8+4χ=2α+40 --> 2α-2α+4χ=40+8 --> 4χ=48 --> χ=48/4 --> χ=12 (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: 92χ= 4α-16 --> 92*12=4α-16 --> 1.104=4α-16 --> 4α=1.104+16 --> 4α=1.120 --> α=1.120/4 --> α=280 (3) Λύση του Γ. Ριζόπουλου. log(sqrt(8)*8)/log(sqrt(sqrt(8)))*log(sqrt(4)*4)/log(sqrt(sqrt(4)))*8 -8 = 6*6*8-8=280

Rebus No.207 (9)

Λύση

Φαλκονέρα* [Φαλκον**νερα(Εμφιαλωμένα)] * Η Φαλκονέρα ή κατά τους Έλληνες ναυτικούς Γερακούλια, είναι ακατοίκητη νησίδα (βραχονησίδα) του Νοτίου Αιγαίου, στο Μυρτώο Πέλαγος, και που απέχει 42 μίλια ΒΑ. από το Ακρωτήριο Μαλέας και 25 μίλια ΔΒΔ. από τη Νήσο Μήλο. Βρίσκεται ακριβώς επί των διεθνών θαλάσσιων γραμμών Μαλέα – Σμύρνης και Πειραιά – Χανίων, εξ αυτού και θεωρείται λίαν σημαντική στη Ναυσιπλοΐα αλλά και αρκετά επικίνδυνη ιδίως για τα ιστιοφόρα «εν γαλήνη και άπνοια» λόγω των παρ΄ αυτής ισχυρών ρευμάτων. Στην ανατολική άκρα της νησίδας που ονομάζεται «Παναγιά των ρευμάτων» φέρεται φάρος αυτόματος, τύπου Δαλέν-Άγκα, φωτοβολίας 23 μιλίων. Το 1941 το φάρο αυτό ανατίναξαν οι Γερμανοί όπου και ακολούθησαν πολλά ναυάγια. Μετά την απελευθέρωση ο φάρος επισκευάσθηκε και αποκαταστάθηκε η λειτουργία του. Το όνομα Φαλκονέρα προέρχεται από την ιταλική λέξη Falconeria που σημαίνει γερακότοπος και η σημασία του είναι κοινή με το ελληνικό όνομα του νησιού (Γερακούλια). Στις 8 Δεκεμβρίου του 1966 στη θαλάσσια περιοχή της Φαλκονέρας σημειώθηκε το πολύνεκρο ναυάγιο του Πορθμείου Ηράκλειον όπου χάθηκαν 273 ψυχές. Η Φαλκονέρα ανήκει στο δίκτυο Natura 2000 με τον κωδικό GR3000011, μαζί με τις άλλες δύο απομονωμένες νησίδες του Μυρτώου πελάγους, την Βελοπούλα και τις Ανάνες. Το νησί διοικητικά ανήκει στον δήμο Σπετσών ** Ο Ρόμπερτ Φάλκον Σκοτ (Robert Falcon Scott, 6 Ιουνίου 1868 – 29 Μαρτίου 1912) ήταν αξιωματικός του Βασιλικού Ναυτικού της Βρετανίας, που έγινε γνωστός από τις δύο αποστολές εξερεύνησης της Ανταρκτικής. Η πρώτη ήταν η "αποστολή Discovery" από τη Βρετανία, μεταξύ του 1901–04, και η δεύτερη η αποστολή για την ανακάλυψη του Νότιου Πόλου ("αποστολή Terra Nova"), μεταξύ των ετών 1910-13.

Rebus No.206 (9)

Λύση

Εκτυπωτής [Εκτυ(VI=6=ΣΤ΄= Έκτη τάξη)πωτής(Πότης)]

Οι Σοκολάτες

Ένα βάζο περιέχει σοκολάτες. Η Μαρία παίρνει το 1/2 από τις σοκολάτες του βάζου και τοποθετεί 15 από τις σοκολάτες που πήρε πίσω στο βάζο. Στη συνέχεια παίρνει ο Αντρέας το 1/2 από όσες υπάρχουν στο βάζο και τοποθετεί πίσω στο βάζο 10 σοκολάτες από αυτές που πήρε. Αν η Μαρία και ο Αντρέας έχουν τον ίδιο αριθμό σοκολατών, πόσες σοκολάτες έμειναν στο βάζο; (κατ.34/Νο.705)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Λύση

Η Μαρία παίρνει τα (χ/2)-15=[(χ-(2*15)]/2=(χ-30)/2 σοκολάτες και μένουν στο βάζο τα (χ/2)+15=[(χ+(2*15)]/2=(χ+30)/2 σοκολάτες. Ο Αντρέας παίρνει τα [[(1/2)*(χ+30)/2]-10]=[[(χ+30)/4]-10]=[(χ+30)-(4*10)]/4= =(χ+30-40)/4=(χ-10)/4 σοκολάτες. Η Μαρία και ο Ανδρέας πήραν ίσο αριθμό σοκολατών. Άρα έχουμε: (χ-30)/2=(χ-10)/4 --> 4*(χ-30)=2*(χ-10) --> 4χ-120=2χ-20 --> 4χ-2χ=120-20 --> 2χ=100 --> χ=100/2 --> χ=50 Άρα το βάζο περιείχε 50 σοκολάτες. Η Μαρία πήρε: (χ-30)/2=(50-30)/2=20/2=10 σοκολάτες. Ο Ανδρέας πήρε: (χ-10)/4=(50-10)/4=40/4=10 σοκολάτες. Άρα στο βάζο έμειναν: 50-(10+10)=50-20=30 σοκολάτες. Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «Χ» οι σοκολάτες. Η Μαρία παίρνει Χ/2 και επιτρέφοντας 15, μένει με Χ/2 -15 = και στο βάζο υπάρχουν Χ/2 +15=σοκολάτες. Ο Α νδρέας πήρε (Χ/2 +15)/2 και επιστρέφοντας 10, μένει με (Χ/2+15)/2 -10 =(Χ-10)/4 και στο βάζο υπάρχουν (Χ/2+15)/2 +10 =(Χ+70)/4. Μαρία και Ανδρέας έχουν ίδιο αριθμό σοκολατών, άρα Χ/2 -15=(Χ-10)/4 -> Χ=50 και στο βάζο έμειναν (50+70)/4=30 και πήραν από 10.

Rebus Νο.205 (5)

 

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Προσγειώσεις

Προγραμματίζεται η αεροπορική σύνδεση 13 πόλεων ανά δύο με μία πτήση μετ' επιστροφής την ημέρα. Πόσες προσγειώσεις αεροσκαφών θα πραγματοποιούνται την ημέρα και στις 13 πόλεις; (Κατ.5/Νο.92)

Πηγή:Πιθανές ερωτήσεις για το τεστ αξιολόγησης των δημοσίων υπαλλήλων

Λύση

Και στις 13 πόλεις θα πραγματοποιηθούν 156 προσγειώσεις αεροσκαφών. Ανά δύο σημαίνει ότι μόνο οι 12 μπορούν να συνδεθούν. Μια πτηση την ημέρα μετ' επιστροφης σημαίνει μία προσγείωση και μία απογείωση σε κάθε πολή, άρα έχουμε 12 προσγειώσεις για τις 12 πόλεις. Η μία μένει χωρίς διασύνδεση. Η κάθε πόλη συνδέεται με την άλλη πόλη ανά δύο 12 φορές: C(13,2) =[(13*12)/2]*2 --> 13*12=156 προσγειώσεις.